Introduction
क्या आपने कभी सोचा है कि कंप्यूटर कैसे संख्याएँ उत्पन्न करते हैं, जो कि पूरी तरह से यादृच्छिक लगती हैं? दशकों पहले, यह एक चुनौती थी, लेकिन 1980 और 90 के दशक में डेस्कटॉप कंप्यूटरों के बढ़ते उपयोग ने गणितीय सिमुलेशन में कई उन्नतियों को जन्म दिया। इस लेख में, हम एक ऐसे दिलचस्प और सरल तरीके पर चर्चा करेंगे, जिसका उपयोग पहले के शोधकर्ताओं ने सामान्य वितरण (Normal Distribution) के संख्याओं को उत्पन्न करने के लिए किया था। आइए हम इस यात्रा पर साथ चलें और जानें कि कैसे 12 यादृच्छिक संख्याओं का योग सामान्य वितरण के करीब पहुंच सकता है।
Full Article
जब हम यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करने की बात करते हैं, तो हमें यह समझना चाहिए कि यह केवल किसी संख्या का चयन नहीं है, बल्कि यह एक गणितीय प्रक्रिया है। प्रारंभिक सॉफ़्टवेयर लाइब्रेरी केवल 0 से 1 के बीच की यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न कर सकती थीं, लेकिन अन्य वितरणों के लिए समर्थन कम था। उस समय, सामान्य वितरण से यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करना एक चुनौती थी।
Irwin-Hall वितरण
1927 में, ओस्कर इर्विन और फिलिप हॉल ने स्वतंत्र यादृच्छिक संख्याओं के योग के वितरण पर अपने-अपने अध्ययन प्रकाशित किए। इस वितरण को आज इर्विन-हॉल वितरण (Irwin-Hall Distribution) कहा जाता है। यह वितरण तब काम आता है जब हम n स्वतंत्र यादृच्छिक संख्याओं का योग लेना चाहते हैं।
जब हम n = 12 का मान लेते हैं, तो इस वितरण का औसत 6, भिन्नता 1, और असमानता (skewness) 0 होती है। यदि हम इस वितरण को केंद्रित करते हैं, यानी औसत 6 को घटाते हैं, तो हमें ऐसे मान मिलते हैं जो सामान्य वितरण के मानों के करीब होते हैं।
सिमुलेट करना Irwin-Hall वितरण में SAS के माध्यम से
अब, आइए देखें कि हम कैसे SAS सॉफ़्टवेयर में Irwin-Hall वितरण से यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न कर सकते हैं। यहाँ एक सरल DATA स्टेप प्रोग्राम है जो 12 यादृच्छिक संख्याओं का योग लेता है और उनके औसत को घटाता है:
sas<br /> %let nIH = 12; /* Irwin-Hall वितरण में इन संख्याओं का योग लें */<br /> %let N = 10000;<br /> <br /> data IrwinHall;<br /> call streaminit(12345);<br /> EsumU = 0.5 * &nIH; /* 12 U ~ U(0,1) का अपेक्षित मान */<br /> do i = 1 to &N;<br /> sum = 0;<br /> do k = 1 to &nIH;<br /> sum + rand("Uniform");<br /> end;<br /> x = sum - EsumU;<br /> output;<br /> end;<br /> keep x;<br /> run;<br /> <br /> proc univariate data=IrwinHall;<br /> var x;<br /> histogram x / normal(mu=0 sigma=1) /* N(0,1) के लिए ओवरले PDF */<br /> midpoints=(-4 to 4 by 0.5) odstitle="(12 यादृच्छिक संख्याओं का योग) - 6";<br /> run;<br />
इस प्रोग्राम के माध्यम से, हम 10,000 यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करते हैं और देखते हैं कि उनका वितरण सामान्य वितरण के कितने करीब है।
निष्कर्ष
इस लेख में हमने यह जाना कि कैसे प्रारंभिक शोधकर्ताओं ने सरल तरीकों का उपयोग करके सामान्य वितरण के करीब पहुँचने के लिए 12 यादृच्छिक संख्याओं का योग निकाला। आज के आधुनिक सॉफ़्टवेयर हमारे लिए अधिक उन्नत तरीके प्रदान करते हैं, लेकिन यह जानना दिलचस्प है कि सरलता में भी गहराई हो सकती है।
FAQs Section
1. Irwin-Hall वितरण क्या है?
Irwin-Hall वितरण एक सांख्यिकीय वितरण है जो n स्वतंत्र यादृच्छिक संख्याओं के योग के वितरण का वर्णन करता है। यह वितरण तब काम आता है जब हम uniform distribution से यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करते हैं।
2. क्यों n=12 का उपयोग किया जाता है?
n=12 का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि इसके साथ प्राप्त भिन्नता 1 होती है, जो सामान्य वितरण के करीब पहुँचने में मदद करती है। यह एक सुविधाजनक मान है जो तेजी से कार्य करता है।
3. SAS में सामान्य वितरण उत्पन्न करने का सरल तरीका क्या है?
SAS में सामान्य वितरण उत्पन्न करने के लिए, आप RAND(“Normal”) कॉल का उपयोग कर सकते हैं। यह एक आसान और प्रभावी तरीका है।
4. क्या Irwin-Hall वितरण सामान्य वितरण के समान है?
Irwin-Hall वितरण सामान्य वितरण के करीब पहुँच सकता है, खासकर जब n का मान बड़ा होता है। हालांकि, इसके कर्टोसिस में कुछ अंतर हो सकता है जो इसे सामान्य वितरण से भिन्न करता है।
5. इस तकनीक का उपयोग कब किया गया था?
इस तकनीक का उपयोग विशेष रूप से उन समयों में किया गया था जब कंप्यूटरों और सॉफ़्टवेयर में सीमित संसाधन थे, और शोधकर्ताओं ने सरल तरीकों से प्रभावी परिणाम प्राप्त किए।
**Tags**
Tags: Irwin-Hall Distribution, Random Numbers, Statistical Methods, SAS Programming, Normal Distribution, Computational Statistics, Data Analysis.
इस लेख में हमने Irwin-Hall वितरण के माध्यम से यादृच्छिक संख्याओं के उत्पन्न करने की प्रक्रिया को सरलता से समझाया है। यदि आप और अधिक जानना चाहते हैं, तो [vidyamag.com](https://www.vidyamag.com) पर जाएँ।
